اعداد مختلط به زبان ساده

یک عدد مختلط، ترکیبی از یک عدد حقیقی و یک عدد موهومی است:

 اعداد حقیقی مانند:

۱   ,   ۱۲٫۳۸   ,   -۰٫۸۶۲۵   ,   ^۳/_۴   ,   √۲   ,   ۱۹۹۸

• اعداد موهومی ویژه اند چون:

اگر مربع شوند، یک نتیجه منفی می دهد.

این اتفاق در حالت عادی رخ نمی دهد، چون:

• هنگامیکه یک عدد مثبت را مربع می کنیم، پاسخ مثبت می گیریم، و
• هنگامیکه یک عدد منفی را مربع می کنیم (توان ۲)، دوباره عدد مثبت می گیریم (چون ضرب منفی در منفی مثبت می شود)

اما فرض کنید که چنین عددی داریم، چون به آن نیاز خواهیم داشت…!

عدد “منفرد” برای اعداد موهومی (مانند ۱ برای اعداد حقیقی) برابر i است، که همان جذر عدد ۱- است.

یک ترکیب

خب پس تعریف زیر را داریم:

یک عدد مختلط، ترکیبی از یک عدد حقیقی و یک عدد موهومی است

چند عدد مختلط بعنوان مثال:

۱ + i   ,   ۳۹ + ۳i   ,   ۰٫۸ – ۲٫۲i   ,   -۲ + πi   ,   √۲ + ⁱ/₂

مگر می شود یک عدد ترکیب دو عدد دیگر باشد؟!

آیا می توان یک عدد را به وسیله ترکیب دو عدد دیگر بدست آورد؟ البته که می توانیم!

 این امر را همواره در کار با کسرها انجام می دهیم. برای مثال کسر ۳/۸ یک عدد تشکیل شده از ۳ و ۸ است. می دانیم که این عدد تشکیل شده به معنی “سه تا از هشت تکه برابر”.

خب، یک عدد مختلط ترکیب عادی دو عدد نیست، همانطوری که گفته شد ترکیب یک عدد حقیقی و یک عدد موهومی است.

هر یک از دو عدد می تواند صفر باشد

خب، یک عدد مختلط یک قسمت حقیقی و یک قسمت موهومی دارد.

اما هر قسمت می تواند ۰ باشد، پس تمامی اعداد حقیقی و موهومی به تنهایی نیز عدد مختلط می توانند باشند.

جمع

برای جمع دو عدد مختلط، هر عضو را جداگانه باهم جمع می کنیم:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

مثال:

(۳ + ۲i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)

ضرب

برای ضرب اعداد مختلط:

هر قسمت از یک عدد مختلط، در هر قسمت عدد مختلط دیگر ضرب می شود

دقیقا همانند ضرب دو جمله ای، باید هر عبارت عدد مختلط اول در هر عبارت عدد مختلط دوم ضرب شود.

• عضو های اول:    a × c
• عضوهای خارجی:     a × di
• عضوهای داخلی:     bi × c
• عضوهای آخر:     bi × di

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi²

مانند:

مثال: 

(۳ + ۲i)(1 + 7i)

(۳ + ۲i)(1 + 7i) = 3 × ۱ + ۳ × ۷i + 2i × ۱+ ۲i × ۷i

= ۳ + ۲۱i + 2i + 14i²

= ۳ + ۲۱i + 2i – 14 (منفی یک است i چون مجذور)

= -۱۱ + ۲۳i

و این:

مثال:

(۱ + i)²

(۱ + i)² = (1 + i)(1 + i) = 1×۱ + ۱×i + 1×i + i²

= ۱ + ۲i – 1 (منفی یک است i چون مجذور)

= ۰ + ۲i

اما راه حل سریعتری هم هست!

از این قاعده استفاده کنید:

(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

مثال:

(۳ + ۲i)(1 + 7i) = (3×۱ – ۲×۷) + (۳×۷ + ۲×۱)i = –11 + 23i

این قاعده چگونه درست شده است؟

همان روش ضرب دو جمله ایست، با کمی تغییرات:

(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi²   ضرب دو جمله ای

= ac + adi + bci – bd    منفی یک است i چون مجذور

= (ac – bd) + (ad + bc)i   پس از دسته بندی

و از اینجا الگو بدست می آید.

این قاعده قطعا سریعتر است، اما اگر از یادتان رفت، روش ضرب دو جمله ای را به یاد بیاورید.

استفاده از i²

بیایید برای مثال از این روش برای محاسبه i² استفاده کنیم.

مثال:

i همچنین می تواند با یک قسمت حقیقی و یک قسمت موهومی معرفی شود مثل:

۰ + i

i² = (0 + i)² = (0 + i)(0 + i)
= (۰×۰ – ۱×۱) + (۰×۱ + ۱×۰)i
= –۱ + ۰i
= -۱

و این یعنی تعریف را که ۱- = i² است، تایید می کند.

صفحه مختلط

می توانیم اعداد مختلط را روی صفحه مختلط نشان دهیم.

• قسمت حقیقی عدد به چپ و راست می رود
• قسمت موهومی نیز به بالا یا پایین می رود

مزدوج ها

یک مزدوج شرایطی است که طی آن علامت وسط عدد مختلط را عوض می کنیم. به این شکل:

یک مزدوج معمولا با یک خط روی خود نوشته می شود:

مثال:

تقسیم

از مزدوج برای استفاده در تقسیم استفاده می شود.

چگونه؟ عبارت بالا و زیر کسر را در مزدوج مخرج ضرب کنید.

مثال: تقسیم را انجام دهید.

^{۲ + ۳i}/_{4 – 5i}

بالا و پایین را بر مزدوج مخرج ضرب می کنیم:

^{۲ + ۳i}/_{4 – 5i} × ^{۴ + ۵i}/_{4 + 5i} =  ۸ + ۱۰i + 12i + 15i²/_{16 + 20i – 20i – 25i²}

به یاد داریم که ۱- = i²، پس:

^{۸ + ۱۰i + 12i – 15}/_{16 + 20i – 20i + 25}

همانند جملات جمع کنید (و دقت کنید که ۲۰i – 20i در مخرج حذف می شود):

^{–۷ + ۲۲i}/₄₁

سپس آن را به فرم یک عدد مختلط در می آوریم:

^–۷/_۴۱ + ^۲۲/_۴۱i

انجام شد!

بله، مقداری محاسبات می خواهد اما قابل انجام است.

ضرب در مزدوج

البته می شود کمی سریع تر عمل کرد.

در آن مثال، اتفاق در مخرج جالب بود:

(۴ – ۵i)(4 + 5i) = 16 + 20i – 20i – 25i²

جملات وسط حذف می شدند

و از آنجایی که ۱- = i²، به این نتیجه رسیدیم:

(۴ – ۵i)(4 + 5i) = 4² + 5²

که یک نتیجه ساده است

در واقع یک ضابطه کلی برای این مسئله وجود دارد:

(a + bi)(a – bi) = a2 + b2

پس از این طریق می توان سریعتر به جواب رسید، مثلا:

مثال: مقدار کسر زیر را بدست آورید.

^{۲ + ۳i}/_{4 – 5i}

صورت و مخرج کسر را به مزدوج مخرج ضرب می کنیم:

^{۲ + ۳i}/_{4 – 5i} × ^{۴ + ۵i}/_{4 + 5i} = 8 + 10i + 12i + 15i²/_{16 + 25} = ^{-7 + 22i}/₄₁

و به شکل عدد مختلط تبدیل می کنیم:

^-۷/_۴۱ + ^۲۲/_۴۱i

حل شد!

مجموعه مندلبرو

مجموعه زیبای مندلبرو (Mandelbrot) که در تصویر زیر نشان داده شده، بر اساس اعداد مختلط است.

این یک طرح اتفاقات روی معادله ساده z² + c است (که هردو عدد مختلط هستند) و با گرفتن پاسخ، هربار آن را به z اختصاص می دهیم و دوباره معادله را حل می کنیم و به این ترتیب ادامه می دهیم.

رنگ ها سرعت رشد این معادله را نشان می دهند، و رنگ سیاه به این معنیست که در محدوده مشخصی می ماند.

یک تصویر بدست آمده بوسیله بزرگنمایی طرح مجموعه مندلبرو:

و این تصویر، بزرگنمایی تصویر قبل است و می توان مرکز تصویر قبل را مشاهده کرد.

منبع:http://faradars.org